수학공부

며칠 전 상담전화를 받았다. 서울에서 이주했다며 수학과외를 문의하는 전화였다.

빡세게 공부시키는 학교가 어디인가요? 문제를 빨리 푸는 방법을 가르쳐 주나요?

질문이 저질이다. 딱히 좋은 답변이 떠오르지 않는다. 당황했다.

정답은 자명하다.

스스로 노력한만큼 성장한다. 학교든 학원이든 과외든, '스스로' 공부하는 아이를 '도울' 뿐이다. 결코 대신할 수 없다.

부모 입장에서는 빡세게 공부시켜주는 환경을 그리워하는 것이 한편으로 이해는 된다. 억지로라도 좀 공부시켜줬으면 하는 것이다. 그런데 부모도 시킬 수 없는 공부를 남이 어떻게 시키나? 억지로 시키려고 했다가는... 학교든 학원이든 큰일난다.

문제를 빨리 푸는 비법은 없다. 연습이 힘을 길러줄 뿐이다. 쉬운 문제는 빨리 그리고 정확하게 푸는 '속도검사'에 방점을 두고. 어려운 문제는 시간을 들여 찬찬히 분석해보고 곱씹어보며 역량을 키우는 '역랑검사'에 초점이 있다.
빨리 깨닫게 되기를 바란다.

고등학교 시절은 인생의 토대를 만드는 시기이다. 결정적인 시기인 것.
공부의 중요성이 쓰러기통에 쳐박힌 시대이지만, 잘하고 못하고를 떠나 전력을 다해 공부에 도전해 본 경험만은 우리 아이들이 꼭 한번 갖게 되기를 바란다.

아래는「EBS가 선정한 최고의 교사」라는 책에 실린 수학공부 편을 요약한 것이다.
'표두모찾'. 기하편 공부에 좋은 방식이다. 기하가 쉬워진다.

 

집중과 논리, 수학은 게임이다/ 부산 사직중 하영철 선생님


01. 이해와 계산은 수학의 양대 축이다

* 개념을 이해하고 문제의 해법을 알면 학년과 상관없이 속진학습이 가능하다.

* 수학과 산수로 구분되는 이해와 계산은 수학의 양대 축이다. 계산 없는 이해는 불안전하고, 이해 없는 계산은 무의미하다. 따라서 이해와 계산의 조화는 수학 실력 향상의 중요한 관건이다.


02. 수학을 게임처럼 즐겨라! 집중력 고!고!고!

* 게임 수업의 목적은 실전감각을 키우는 것. 수험상황처럼 긴장감을 조성해 신속성과 정확성을 높여주고, 이를 바탕으로 자신감을 향상시켜 문제해결 능력을 키우는 것.

* 성적이 우수한 학생이 멘토가 되어 부족한 학생의 학습을 도와주는 '멘토-멘티 페어전'
  - 토너먼트로 진행. 평소 수업시간에 적극적인 학생이나 동료들의 추천을 받은 학생이 멘토로 선정되고, 멘티가 멘토를 선택하여 짝을 이룬다.
  - 게임 준비는 멘토, 멘티 함께 하지만, 경기는 멘티끼리 벌인다.
  - 멘티 2명은 같은 문제를 푸는 것으로 대결을 펼치는데, 두 명 모두 정답을 내면 속도가 빠른 쪽이 승리하고, 두 명 모두 들리면 재대결한다. 다시 문제를 풀지 못하면 1회에 한해 멘토의 간접 지도를 받을 수 있다.
  - 이때 비슷한 문제를 출제하여 멘티에게 가르쳐 주는 것은 허용되나, 해당 문제를 직접 풀어 준다던지 구두로 풀이방법을 전달해서는 안된다. 멘토는 멘티간의 대결에서 심판이나 도우미 역할을 수행한다.
  - 협력학습 효율을 높이는데 멘토-멘티 페어전의 목적이 있다.

* 두 명의 학생이 같은 문제로 겨루는 '토너먼트전'
  - 개인전이다.
  - 멘토 선정 방법은 같고, 멘티의 비율만 멘토의 두 배로 한다.
  - 실력에 따라 멘토 경기와 멘티 경기로 나누어 실시한다. 멘티 경기를 먼저 치르고 멘토 경기를 한 뒤에, 결승전은 함께 실시한다.
  - 제한된 시간에 속도와 역량을 동시에 측정하고 두 명이 같은 문제로 풀이 대결을 펼친다.
  - 두 명 모두 정답일 때는 속도가 빠른 쪽이 승리하고, 두 명 모두 틀리거나 문제를 풀지 못하면 1회에 한해 새로운 문제로 재경기를 한다.
  - 각 개인의 기량 향상이 목적이다

* 단체가 경쟁하는 '조별 대항전'
  - 3개 조로 편성하여 리그전을 펼친 후 상위 1, 2위 팀이 결승전을 치르는 방식으로 진행.
  - 각 조는 2명의 멘토와 4명의 맨티로 구성. 멘토는 자발적 지원과 동료들의 추천으로 선정하고 팬티도 언제든 멘토가 될 수 있다.
  - 제한된 시간에 속도와 역량을 동시에 측정한다. 승자는 두 팀 중 정답자가 많은 쪽으로 하되 가장 늦게 답안을 제출하는 학생이 있는 조에 감정을 부여함으로써 형평성을 유지한다.
  - 경기는 한 문제로 겨루고 최하위 수준의 학생이 문제 해결의 실마리를 못 찾을 경우 1회에 한해 멘토가 도움을 줄 수 있다. 역시 비슷한 문제를 하나 출제하여 가르쳐 주는 것은 허용하나 해당 문제를 직접 풀어주거나 구두로 풀이방법을 설명해서는 안된다.
  - 상위권과 하위권의 실력 차이를 줄이는데 그 목적이 있다.


03. 수학문제 완전정복의 길, '표두모찾!'
  - 아는 것을 표시하라! 필요한 것을 두어라! 한쪽으로 모아라! 숨은 그림을 찾아라!
  - 배웠던 것을 '표시'하고, 구하고자 하는 것과 필요로 하는 것을 '두고', 조건이 많은 쪽으로 '모아', 숨겨진 것이나 숨은 그림을 '찾는' 것은 가하 문제를 푸는 기본.


04. 24년 역사의 수학반, '함께' 하는 자기주도학습의 힘
* 개인별 학습 속도에 맞춰서 선후배를 통한 멘토학습과 친구들과 함께하는 협력학습으로 진행. 수학반 출신 대학생과 사회인의 강연, 학생들의 소감문 작성을 통한 자기성찰, 선배들과 이메일을 통한 수시상담, 수업 시작 전에 듣는 선배들을 체험담 낭독, 사제가 함께하는 모임과 방학 캠프.


#팁
1. 먼저 생각하는 후에 문제를 풀어 본다.
  - 문제에 따라서 20~30분 정도 생각하는 시간을 갖기를 권한다. 문제를 풀고 난 뒤에 해답은 확인용으로만 보고, 정답이 맞을 때만 풀이과정을 참고하는 습관을 기른다. 만일 정답이 나오지 않았으면 체크해 두었다가 몇 번이고 다시 풀어본다. 수학문제는 외워서 풀면 어차피 제 것이 되지 못한다. 수학문제집은 한 권을 사더라도 시간 내에 다 해결하려는 양적인 접근보다 실력이 쌓였다고 느낄 때마다 다시 도전해 보는 질적인 접근방식을 취하는 것이 좋다.

2. 수학 문제에서 가장 주의해야 할 것은 바로 '조건'이다
  기본적이고 사소한 조건에 문제의 실마리가 있다. 조건을 하나 빠뜨리면 그때부터 해답에서 빗나가는 것이다.

3. 풀어본 문제를 발견하는 것은 즐거움이 아니라 고통이다
   풀어본 문제가 나오면 기억력에 의존하여 문제를 풀고, 긴장이 이완되면서 같은 난이도의 다른 문제를 푸는데 어려움을 겪을 수 있기 때문이다.

4. 어려운 문제를 풀 때는 역량검사, 쉬운 문제를 풀 때는 속도 검사에 주력하라
   어려운 문제를 풀 때는 해결될 때까지 시도하는 역량 위주의 학습에, 쉬운 문제를 풀 때는 정확성에 초점을 둔 속도 학습에 주력해야 한다. 이렇게 하면 평소에 적당한 긴장감을 유지할 수 있을뿐만 아니라 집중력도 높아져 실제 시험에서도 난이도에 상관없이 실력 발휘가 가능하고 실수를 줄일 수 있다.

5. 어려운 문제일수록 책상이 아닌 일상 생활 곳곳에서 계속 생각하라
   길을 걷거나 공부가 아닌 다른 일을 하다가 문득 문제 해결의 실마리를 찾는 경우가 많다. 예컨대 시험이 끝난 직후에 해결 방법이 떠오르거나, 아무리 살펴봐도 실수를 발견하지 못하다가 풀이과정을 모두 지우고 다시 한번 풀어볼 때 해답을 발견하게 되는 것이다. 그런 의미에서 쉬는 시간 10분이 수업시간 45분을 능가 할 때가 있다.

6. 어떤 문제를 풀든 기본을 잊어서는 안된다
   어려운 문제를 만나면 특이한 풀이 방법이 있을 것이라고 여기는 태도는 실력 향상을 더디게 만드는 주범이다. 내가 가진 것만으로도 반드시 풀어낼 수 있다는 자신감만 있으면 수학은 충분히 매력적이다. 또한 계산 과정에서 실수하는 것은 연습 부족이므로 기본적인 것을 소홀히 하고 어려운 문제에 비중을 두는 것을 경계해야 한다.

7. 노력하고 있다면 누가 뭐라고 하든 자기만의 방식을 고수하라
   공부 방식이나 시간대 등에 관해 자신의 방식을 고수하는 것은 자신감 배양에 절대적인 영향을 미친다. 잘 되는 레스토랑은 누가 뭐래도 메뉴를 바꾸지 않는다. 다른 집의 장사가 잘 된다고 하나씩 메뉴를 추가하다보면 자신만의 고유한 색깔을 잃어버리기 때문이다. 노력하고 있다면 자신만의 방식을 터득할 때까지 꾸준히 유지하는 것이 필요하다.

8. 자기만의 문제집과 참고서를 만들어라
   좋은 참고서와 문제집은 따로 있는 것이 아니다. 가장 적합한 문제집은 10문제당 7개 정도가 풀리는 것이다. 그보다 많이 풀리는 문제집은 쉬워서 계산 위주의 학습이 될 수 있고, 그보다 적게 풀리는 문제집은 어려워서 흥미를 느끼지 못한다.
 『최고의 교사 - EBS가 선택한 p131.』